MATEMATIKA DAN ILMU ALAMIAH DASAR
PROPOSISI
NAMA : ARLINDA PUTRI SUNARTA
KELAS : 1PA03
NPM : 11515033
FAKULTAS : PSIKOLOGI
BAB
I
PENDAHULUAN
A. Latar Belakang.
Pada abad ke-18 Masehi, G.W.
Leibniz, seorang ahli matematika berkebangsaan Jerman, pertama kali mempelajari
logika simbolik. Ahli matematika lainnya yang berjasa dalam pengembangan logika
simbolik adalah George Boole, Leonard Euler, John Venn, dan Bertrand Russel.
Secara etimologis, logika berasal
dari kata Yunani ‘logos’ yang berarti kata, ucapan, pikiran secara utuh, atau
bisa juga berarti ilmu pengetahuan (Kusumah, 1986). Dalam arti luas, logika
adalah suatu cabang ilmu yang mengkaji penurunan-penurunan kesimpulan yang
sahih (tidak valid). Proses berpikir yang terjadi di saat menurunkan atau
menarik kesimpulan dari pernyataan-pernyataan yang diketahui benar atau
dianggap benar itu biasanya disebut dengan penalaran.
Melalui logika kita dapat mengetahui
kebenaran suatu pernyataan dari suatu kalimat dan mengetahui apakah pernyataan
pertama sama maknanya dengan pernyataan kedua. Misalkan, apakah pernyataan
“Jika sekarang adalah hari Minggu maka sekolah libur.” sama artinya dengan
“Jika sekolah libur maka sekarang adalah hari Minggu.”? Untuk menjawab
pertanyaan ini tentu kita perlu mengetahui aturan-aturan dalam logika. Contoh
lain, misalkan ada dua pernyataan “Jika anak pandai maka ia berprestasi di
kelas. Jika ia berprestasi di kelas maka ia disayangi guru-gurunya.” Lalu,
apakah dari dua pernyataan ini kita dapat menyimpulkan “Jika ia anak pandai
maka ia disayangi guru-gurunya.”?
Hal terpenting yang akan didapatkan
setelah mempelajari logika matematika adalah kemampuan atau keahlian mengambil
kesimpulan dengan benar atau sah. Logika matematika memberikan dasar bagi
sebuah pengambilan kesimpulan dan dapat digunakan dalam banyak aspek kehidupan.
B. Rumusan Masalah.
Adapun masalah yang akan di bahas
dalam makalah ini adalah
1. Menjelaskan kembali bagaimana konsep
dan notasi dasar pada proposisi ?
2. Membedakan tautologi dan kontradiksi
?
3. Membedakan hukum-hukum pada aljabar
proposisi ?
4. Membedakan penggunaan pengukur jumlah
universal dan eksistensial?
5. Menjelaskan proposisi yang
mengandung pengukur jumlah, misalnya negasi ingkaran ?
c.
Tujuan.
Adapun tujuan penulisan makalah ini
adalah untuk mengetahui nilai kebenaran dari suatu pernyataan,
operasi-operasi yang terdapat dalam logika matematika, mengetahui konvers,
invers dan kontraposisi dari suatu implikasi, mengetahui mengenai tautologi dan
kontradiksi, hukum-hukum aljabar proposisi,dan negasim ingkaran .
BAB
II
KAJIAN TEORI
KAJIAN TEORI
Proposisi adalah istilah yang digunakan
untuk kalimat pernyataan yang memiliki arti penuh dan utuh. Hal ini
berarti suatu kalimat harus dapat dipercaya,
disangsikan, disangkal, atau dibuktikan benar tidaknya. Singkatnya, proposisi
adalah pernyataan mengenai hal-hal yang dapat dinilai benar atau salah.
Dalam ilmu logika, proposisi
mempunyai tiga unsur yakni:
Contohnya kalimat Semua
manusia adalah fana.Kata semua dalam kalimat tersebut
dinamakan dengan pembilang. Kemudian kata manusia berkedudukan
sebagai subyek, sedang adalah merupakan kopula. Adapun
predikat di sini diwakili oleh kata fana.
Banyak pemikir modern berpikir bahwa
"pernyataan" dan "proposisi" adalah sinonim, atau paling
tidak seharusnya sama.
1.
Konsep dan Notasi
Dasar
Konsep dan notasi dasar yaitu kalimat deklaratif yang
bernilai (true) atau salah (false), tetapi tidak keduanya.
Contoh 1
Semua pernyataan dibawah ini adalah proposisi:
a)
5 adalah bilangan
ganjil.
b)
2 + 3 = 5
c)
Hari ini adalah
hari Minggu.
Contoh 2
Semua pernyataan di bawah ini bukan proposisi:
a)
X + 3 = 8
b)
Isilah gelas
tersebut dengan air!
c)
Jam berapa Alesya
berangkat?
Proposisi dilambangkan dengan huruf kecil p,q,r,…
p: 5 adalah bilangan ganjil.
q: Hari ini adalah hari Minggu
r: 2 + 2 = 4
Misalkan p dan
q adalah proposisi.
1.
Konjungsi : p ˄ q
2.
Disjungsi : p ˅ q
3.
Ingkaran dari
p : ~ p
|
p
|
q
|
p ˄ q
|
|
|
B
B
S
S
|
B
S
B
S
|
B
S
S
S
|
|
|
p
|
q
|
p ˅ r
|
|
|
B
B
S
S
|
B
S
B
S
|
S
S
S
T
|
|
|
p
|
~q
|
||
|
B
S
|
S
B
|
||
Contoh 3
Diketahui proposisi-proposisi berikut:
p : Hari ini hujan
q : Murid diliburkan
p ˄ q : Hari ini hujan dan murid diliburkan
p ˅ q :Hari ini hujan atau murid diliburkan
~p : Hari ini
tidak hujan
Misalkan p dan
q adalah proposisi:
->1. Kondisional atau implikasi : p q
->2. Konvers (kebalikan) :
q p
- 3. Invers :
~ p > ~ q
->4. Kontraposisi :
~ q ~ p
|
P
|
q
|
~p
|
~q
|
Implikasi
p -> q
|
Konvers
q -> p
|
Invers
~p -> ~q
|
Kontraposisi
~q -> ~p
|
|
B
B S S |
B
S
B
S
|
S
S
B
B
|
S
B
S
B
|
B
S
B
B
|
B
B
S
B
|
B
B
S
B
|
B
S
B
B
|
Bikondisional (Bi-implikasi)
Ø
Bentuk proposisi
: “p jika dan hanya jika q”
Ø
->Notasi : p q
|
p
|
q
|
p -> q
|
|
B
B
S
S
|
B
S
B
S
|
B
S
S
B
|
2.
Proposisi dan
Tabel Kebenaran
|
p
|
q
|
R
|
p ˄ q
|
~ q
|
~ q ˄ r
|
(p ˄ q) ˅ (~ q ˄ r)
|
|
B
B
B
B
S
S
S
S
|
B
B
S
S
B
B
S
S
|
B
S
B
S
B
S
B
S
|
B
B
S
S
S
S
S
S
|
S
S
B
B
S
S
B
B
|
S
S
B
S
S
S
B
S
|
B
B
B
S
S
S
B
S
|
3. Tautologi dan Kontradiksi
Ø Proposisi majemuk disebut tautologi jika ia BENAR
untuk semua kasus.
Ø Proposisi majemuk disebut kontradiksi jika ia SALAH
untuk semua kasus.
Contoh: p ˅ ~(p ˄ q)
Adalah sebuah tautologi.
|
P
|
q
|
p ˄ q
|
~ (p ˄ q)
|
p ˅ ~ (p ˄ q)
|
|
B
B
S
S
|
B
S
B
S
|
B
S
S
S
|
S
B
B
B
|
B
B
B
B
|
Contoh : (p ˄ q) ˄ ~(p ˅ q) Adalah sebuah kontradiksi.
|
p
|
q
|
p ˄ q
|
p ˅ q
|
~ (p ˅ q)
|
(p ˄ q)
|
|
B
B
S
S
|
B
S
B
S
|
B
S
S
S
|
S
B
B
S
|
S
S
S
B
|
S
S
S
S
|
4.
Ekivalen Logika
Dua buah proposisi majemuk P (p,q,…) dan Q (p,q,…) disebut
ekivalen secara logika jika keduanya mempunyai tabel
kebenaran yang identic.
<=>Notasi : P(p,q,…) Q(p,q,...)
<=> Hukum De Morgan : ~(p ˄ q) ~p ˅ ~q
|
p
|
q
|
p ˄ q
|
~(p ˄ q)
|
~p
|
~q
|
~p ˅ ~q
|
|
B
B
S
S
|
B
S
B
S
|
B
S
S
S
|
S
B
B
B
|
S
S
B
B
|
S
B
S
B
|
S
B
B
B
|
5.
Aljabar Proposisi
|
1. Hukum Identitas :
- p ˅ B <=> p
- p ˄ S <=> p
|
6. Hukum null /
Dominasi :
- p ˄ S <=> S
- p ˅ B <=> B
|
|
2. Hukum Negasi:
- p ˅ ~p <=> B
- p ˄ ~p <=> S
|
7. Hukum Idempoten :
- p ˅ p <=> p
- p ˄ p <=> p
|
|
3. Hukum Involusi (Negasi Ganda):
- ~(~p) <=> p
|
8. Hukum Penyerapan (absorpsi) :
- p ˅ (p ˄ q) <=> p
- p ˄ (p ˄ q) <=> p
|
|
4. Hukum Komutatif :
- p ˅ q <=> q ˅ p
- p ˄ q <=> q ˄ p
|
9. Hukum asosiatif :
- p ˅ (q ˅ r) <=> (p ˅ q) ˅ r
- p ˄ (q ˄ r) <=> (p ˄ q) ˄ r
|
|
5. Hukum Distributif :
- p ˅ (q ˄ r) <=> (p ˅ q) ˄ (p ˅ q)
- p ˄ (q ˅ r) <=> (p ˄ q) ˅ (p ˄ q)
|
10. Hukum De Morgan :
- ~(p ˄ q) <=> ~p ˅ ~q
- ~(p ˅ q) <=> ~p ˄ ~q
|
Contoh :
Bahwa p ˅ ~(p ˅ q) dan p ˅ ~q keduanya ekivalen secara logika.
Penyelesaian:
<= <=> <=> <=>p ˅ ~(p ˅ q) > p ˅ (~p
˄ ~q) (Hukum
De Morgan)
(p ˅ ~p) ˄ (p ˅ ~q) (Hukum
Distributif)
B ˄ (p ˅ ~q) (Hukum Negasi)
p ˅ ~q (Hukum
Identitas)
Contoh :
Buktikan hukum penyerapan : p ˄ (p ˅ q) <=> p
Penyelesaian
:
p ˄ (p ˅ q) <=> (p ˅ S) ˄ (p ˅ q) (Hukum
Identitas)
<=> <=> <=> p ˅ (B ˄ q) (Hukum
Distribusi)
p ˅ S (Hukum
null)
p
(Hukum
Identitas)
6.
Implikasi Logika
Implikasi logika yang artinya satu arah.Seperti ada
kalimat pernyataan yang disebut P dan Q (p -> q) yang artinya “Jika P Maka Q”.
Tabel Kebenaran Implikasi :
|
p
|
q
|
p -> q
|
|
B
B S S |
B
S B S |
B
S
B
B
|
7.
Fungsi Proposisi
dan Himpunan Kebenaran
Fungsi proposisi (fungsi proposisi jamak)
(logika) Sebuah ekspresi yang mengandung simbol-simbol aljabar yang berfungsi
untuk mewakili kata-kata atau unsur-unsur lain dari kalimat atau proposisi.
Misalkan P(x) merupakan sebuah pernyataan yang mengandung
variabel x dan D adalah sebuah himpunan (sembarang kumpulan obyek). Kita
menyebut P sebuah fungsi proposisi (dalam D) jika untuk setiap x di D, P(x)
adalah proposisi.
Contoh :
a. Misalkan P(n) adalah pernyataan, n
adalah bilangan ganjil dan D adalah himpunan bilangan bulat positif. Maka P
adalah fungsi proposisi dengan daerah asal pembicaraan D karena untuk setiap n
di D, P(n) adalah proposisi (yakni, untuk setiap n di D, P(n) bisa bernilai benar
atau salah tetapi tidak keduanya). Jika n=1, dapat diperoleh proposisi. 1
adalah bilangan ganjil bernilai benar. Jika n=2, diperoleh proposisi 2 adalah
bilangan ganjil bernilai salah.
b. Fungsi proposisi “x+2>7” yang
didefinisikan pada N, yakni himpunan bilangan asli. Maka {x | x Î N,
x+2>7} = {6,7,8,…}adalah himpunan kebenarannya.
8.
Pengukur Jumlah
Universal
Salah satu cara untuk menentukan nilai kebenaran dari
suatu predikat adalah dengan menggunakan batasan nilai yang disebut pengukur
jumlah (Quantifier) dari variabel‐variabelnya. Pengukur jumlah tersebut
adalah :
1. Universal quantifier (∀)
Definisi: Misalkan A sebuah penyataan, dan
x menyatakan suatu variabel. Jika kita ingin menunjukkan bahwa A bernilai benar
untuk semua kemungkinan nilai x, kita tuliskan ∀xA. ∀x disebut pengukur jumlah universal (universal
quantifier), dan A dikatakan sebagai ruang lingkup (scope) dari pengukur jumlah
tersebut. Variabel x dikatakan menjadi variabel terbatas (bound) dari pengukur
jumlah tersebut. Simbol ∀ dibaca “Untuk semua”. Kalkulus Predikat 61 Untuk
pernyataan “Semua kucing punya ekor” dapat kita nyatakan dalam kalkulus
predikat sebagai :
∀x (Kucing(x)⇒PunyaEkor(x))
Contoh:
p
: Semua perempuan menyukai makanan manis,
ingkaran dari p
adalah ~p: Tidak benar bahwa semua perempuan menyukai makanan manis, atau
~p
: Ada perempuan yang tidak menyukai makanan manis
Berdasarkan
contoh diatas tampak bahwa ingkaran dari pernyataan berkuantor universal adalah
sebuah pernyataan berkuantor eksistensial. Secara umum, ingkaran dari
pernyataan berkuantor universal dapat ditentukan sebagai berikut.
~[" x, p(x)] º $ x, ~p(x)
dibaca:
ingkaran dari “untuk setiap x berlakulah p(x)” ekuivalen dengan “ada x yang
bukan p(x)”
9.
Negasi Ingkaran
Dalam logika matematika, negasi, atau ingkaran adalah
operasi matematika terhadap suatu pernyataan, baik tunggal maupun majemuk.
Operasi negasi membalikkan nilai kebenaran suatu pernyataan.
|
p
|
~p
|
|
B
S
|
S
B
|
Jika p bernilai
benar, maka ~p bernilai salah. Sebaliknya, jika p bernilai
salah, maka ~p bernilai benar.Bentuk ~p biasa dibaca
"bukan p", "tidak p", "tidak
benar bahwa p", dsb.
BAB III
ANALISIS
Proposisi adalah istilah yang digunakan untuk kalimat
pernyataan yang memiliki arti penuh
dan utuh.Proposisi terdiri atas konsep dan notasi dasar, tabel
kebenaran,tautology dan kontradiksi, ekivalen logika, aljabar proposisi,
implikasi logika, pengukur jumlah
universal, negasi ingkaran, dan contoh balasan.
Konsep dan notasi dasar merupakan kalimat deklaratif
yang bernilai benar atau salah, tetapi tidak keduanya. Konsep notasi dasar
terdiri dari konjungsi, disjungsi dan ingkaran.Adapula kondisional atau
implikasi, konvers (kebalikan), invers, kontraposisi dan bikondisional
(bi-implikasi). Tautologi adalah proposisi majemuk jika benar untuk semua kasus. Kontradiksi adalah proposisi majemuk jika salah untuk semua kasus. Ekivalen logika
adalah dua buah proposisi majemuk yang secara logika jika keduanya mempunyai
tabel kebenaran yang identik (biasa
menggunakan hukum de Morgan). Adapula
aljabar proposisi, aljabar proposisi terdiri dari berbagaimacam hukum : hukum
identitas, hukum negasi, hukum involusi (negasi ganda), hukum komutatif, hukum
distributive, hukum null/dominasi, hukum idempoten, hukum penyerapan
(absorpsi), hukum asosiatif dan hukum de morgan.
Implikasi logika yang artinya satu arah.Seperti ada
kalimat pernyataan yang disebut P dan Q (p - > q) yang artinya “Jika P Maka Q”. Fungsi
proposisi dan himpunan kebenaran, Fungsi proposisi (fungsi proposisi jamak)
(logika) Sebuah ekspresi yang mengandung simbol-simbol aljabar yang berfungsi
untuk mewakili kata-kata atau unsur-unsur lain dari kalimat atau proposisi.
Adapun pengukuran jumlah universal Salah satu cara untuk menentukan nilai
kebenaran dari suatu predikat adalah dengan menggunakan batasan nilai yang
disebut pengukur jumlah (Quantifier) dari variabel‐variabelnya. Negasi
ingkaran, Dalam logika matematika, negasi, atau ingkaran adalah
operasi matematika terhadap suatu pernyataan, baik tunggal maupun majemuk.
Operasi negasi membalikkan nilai kebenaran suatu pernyataan.
Referensi
file:///C:/Users/user/Downloads/4.%20PROPOSISI%20(1).pdf)
belajartanpabuku.blogspot.co.id
› Home › Belajar Tanpa Buku › Fungsi
